Question

在平面直角坐標系中，已知雙曲線y=

12

x

，動點C、D同時從原點出發，分別沿x軸、y軸正方向運動，運動速度為每秒1個單位長．
（1）經過幾秒鐘，直線CD與雙曲線有一個公共點？
（2）設直線CD與雙曲線相交時，交點為A、B．當△AOB面積等于

7

2

時，求動點C、D兩點所經過的時間t．

Answer 1

分析：（1）利用已知首先求出一次函數CD的解析式，再將兩函數聯立，根據一元二次方程根的判別式求出即可；
（2）首先設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得出x₁＜x₂，x₁+x₂=t，x₁x₂=12，再利用S_△ABO=S_△ODB-S_△ODA，求出t即可．

解答：解：（1）∵動點C、D同時從原點出發，分別沿x軸、y軸正方向運動，運動速度為每秒1個單位長．
∴假設經過t秒時，直線CD與雙曲線有一個公共點，
∴C點的坐標為：（t，0），D點的坐標為：（0，t），
∴假設CD所在直線解析式為：y=kx+b，將C，D代入解析式即可；
∴

b=t kt+t=0

，
解得：

b=t k=-1

，
∴y=-x+t，
將兩解析式聯立，-x+t=

12

x

，
整理得：x²-tx+12=0，
∵直線CD與雙曲線有一個公共點，
∴方程有兩個相等的實數根，
∴b²-4ac=t²-48=0，
解得：t=4

3

或-4

3

（不合題意舍去）．
∴經過4

3

秒鐘，直線CD與雙曲線有一個公共點；

（2）如圖：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
顯然x₁＜x₂，x₁+x₂=t，x₁x₂=12，
S_△ABO=S_△ODB-S_△ODA=

1

2

t（x₂-x₁）=

1

2

t

(x1+x2) 2-4x1x2

=

1

2

t

t2-48

，
∵S_△ABO=

7

2

，
∴

7

2

=

1

2

t

t2-48

，
整理得：（t²）²-48t²-49=0，
解得：t²=49或-1（不合題意舍去），
∵t≥0，
∴t=7．

點評：此題主要考查了反比例函數的綜合應用以及三角形面積和一元二次方程根與系數的關系等知識，根據三角形面積S_△ABO=S_△ODB-S_△ODA轉換三角形面積得出是常用的一種數學思想．