Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=4，DC=4，點P在邊BC上運動（與B、C不重合），設PC=x，四邊形ABPD的面積為y．
（1）求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）若以D為圓心、1為半徑作⊙D，以P為圓心、以PC的長為半徑作⊙P，當x為何值時，⊙D與⊙P相切？并求出這兩圓相切時四邊形ABPD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖作DE⊥BC于E，由矩形的性質可以得出DE=AB，由勾股定理可以得出EC的值，進而表示出EP．從而求出BP，再根據梯形的面積公式可以表示出梯形的面積就可以表示出y與x之間的函數的關系式．由點P不與B、C重合，從而可以得出x的范圍．
（2）設PC=a時，⊙D與⊙P相切，則PD=a+1，PE=4-a，在Rt△EPD中由勾股定理就可以求出a的值，代入（1）的解析式就可以求出四邊形ABPD的面積．
解答：解：作DE⊥BC于E，
∴∠BED=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°
∵AD∥BC，
∴∠A=90°，
∴四邊形ABED是矩形．
∴AD=BE，AB=DE，
∵AD=2，AB=4，
∴BE=2，DE=4，
在Rt△DEC中，由勾股定理，得
EC===4，
∴BC=6，
∵PC=x，
∴BP=6-x，
y=×4×（2+6-x）
=-2x+16．
∵P點與B、C不重合，
∴0＜x＜6．
（2）①設PC=a，
∵⊙D與⊙P相切，且⊙D的半徑為1，
∴PD=a+1，PE=4-a．
在Rt△EPD中由勾股定理，得
16+（4-a）²=（a+1）²
解得：a=3.1．
即PC=3.1時⊙D與⊙P相切．
此時S_{四邊形ABPD}=[2+（6-3.1）]×4×，
=9.8

②設PC=b，
∵⊙D與⊙P相切，且⊙D的半徑為1，
∴PD=b-1，PF=b-4，DF=4，
在Rt△EPD中由勾股定理，得
（b-1）²=（b-4）²+16
解得：b=．
即PC=時⊙D與⊙P相切．
此時S_{四邊形ABPD}=[2+（6-）]×4=．

點評：本題考查了直角梯形的性質，函數自變量的取值范圍，相切兩圓的性質，梯形的面積及勾股定理的運用．