Question

如圖，在直角坐標系xoy中，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸上，且，tan∠OAC=，將△OAC沿AC翻折使點O落在坐標平面內的B點處．
（1）求B點的坐標；
（2）二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過O、B、A三點，求這個二次函數的解析式；
（3）在（2）中的二次函數圖象上是否存在一點P，使以P、A、B、O為頂點的四邊形為梯形？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由tan∠OAC=，OC=，即可得∠OAC=30°，OA=4，又由將△OAC沿AC翻折使點O落在坐標平面內的B點處，根據折疊的性質，易得△OAB是等邊三角形，即可求得點B的坐標；
（2）利用待定系數法即可求得這個二次函數的解析式；
（3）由B為拋物線頂點，可得OA不可能為梯形的底，然后分別從①當OB∥P₁A時與②當OP₂∥BA時去分析求解即可求得答案．
解答：解：（1）∵tan∠OAC=，
∴∠OAC=30°
∵OC=，
∴OA==4，
由△OAC沿AC翻折知，OB⊥AC，
∴∠BOA=60°，∠OAB=2∠OAC=60°，
∴△OAB是等邊三角形，
∴OB=OA=4，
∵x_B=OB•cos∠BOA=2，y_B=OB•sin∠BOA=2，
∴B（2，）；

（2）∵二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過O、B、A三點，
∴設其為y=ax²+bx，
∵A（4，0），B（2，），
將其代入，得，
解得，
∴y=-x²+2x；

（3）若存在點P使四邊形PABO為梯形，
∵B為拋物線頂點，
∴OA不可能為梯形的底，
①當OB∥P₁A時，有∠OAD=60°，
設AP₁交y軸于點D，
∵OA=4，
∴D（0，-4）
設過A、D的直線解析式為y=kx+b（k≠0），
∴，
解得：，
∴直線AD的解析式為：y=x-4，
∵P₁是二次函數圖象與直線AD的交點，
∴，
解得：或，
∵A（4，0），
∴P₁（-2，-6）；
過P₁作PM⊥x軸于M點，則線段P₁M=6，
∴線段P₁A=12，OB=4，
在四邊形P₁ABO中，BO∥AP₁，且BO≠AP₁，
∴四邊形P₁ABO是梯形；
②當OP₂∥BA時，
∵直線AB的解析式為：y=-x+4，
∴直線OP₂的解析式為：y=-x，
∴，
解得：或，
∵O（0，0），
∴P₂（6，-6），
∴OP₂==12，
∵AB=4，
∴四邊形P₂ABO是梯形．
綜上：P₁（-2，-6），P₂（6，-6）．
點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式、等邊三角形的判定與性質、梯形的性質、勾股定理以及三角函數等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意掌握數形結合思想、分類討論思想與方程思想的應用．