Question

【題目】如圖所示, 中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=2，⊙O是△ABC的外接圓，D是CB延長線上一點，且BD=1，連接DA，點P是射線DA上的動點。

（1）求證DA是⊙O的切線；
（2）DP的長度為多少時，∠BPC的度數最大，最大度數是多少？請說明理由。
（3）點P運動的過程中，（PB+PC）的值能否達到最小，若能，求出這個最小值，若不能，說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接AO，易知：

△ABO是等邊三角形，AB=BD=1;

∴∠ADC=∠DAC=∠ABO=30°,而∠AOC=60°;

∴∠DAO=90°

∴DA是⊙o的切線；

（2）

解：當點P運動到A處時，即DP=DA=時，∠BPC的度數達到最大，最大值為90°.理由如下：

若點P不在A處時，不妨設點P在DA的延長線上，連接BP，與⊙o交于一點，記為點E，連接CE，

∴∠BPC＜∠BEC=∠BAC=90°;

（3）

解:作點C關于射線DA的對稱點C′，則BP+PC=BP+PC′,當點C′,P,B三點共線時，（PB+PC）的值達到最小，最小為BC.

過點作DC的垂線，垂足記為點H，連接DC′;

在RT△DCP中，∠PDC=30°;

∴△DCC′為等邊三角形，

∴H為DC的中點，

∴BH=DH-DB=CD-DB=-1=;

∴C′H=DH=;

由勾股定理求出：BC′=;

∴（PB+PC）的最小值為；

【解析】（1）連接AO，易知：△ABO是等邊三角形，通過計算可以得出∠DAO=90°，所以DA是⊙o的切線；
（2）當點P運動到A處時，即DP=DA= 時，∠BPC的度數達到最大，最大值為90°.理由如下：若點P不在A處時，不妨設點P在DA的延長線上，連接BP，與⊙o交于一點，記為點E，連接CE，所以∠BPC＜∠BEC=∠BAC=90°;
（3）作點C關于射線DA的對稱點C′，則BP+PC=BP+PC′,當點C′,P,B三點共線時，（PB+PC）的值達到最小，最小為BC.過點作DC的垂線，垂足記為點H，連接DC；通過等邊三角形的性質和勾股定理即可求出。
【考點精析】關于本題考查的兩點間的距離和等邊三角形的性質，需要了解同軸兩點求距離，大減小數就為之．與軸等距兩個點，間距求法亦如此．平面任意兩個點，橫縱標差先求值．差方相加開平方，距離公式要牢記；等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°才能得出正確答案．