Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直線MN對折，使A、C重合，直線MN交AC于O．
（1）求證：△COM∽△CBA；     
（2）求線段OM的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據A與C關于直線MN對稱得到AC⊥MN，進一步得到∠COM=90°，從而得到在矩形ABCD中∠COM=∠B，最后證得△COM∽△CBA；
（2）利用上題證得的相似三角形的對應邊成比例得到比例式后即可求得OM的長．
解答：（1）證明：∵沿直線MN對折，使A、C重合
∴A與C關于直線MN對稱，
∴AC⊥MN，
∴∠COM=90°．
在矩形ABCD中，∠B=90°，
∴∠COM=∠B，
又∵∠ACB=∠ACB，
∴△COM∽△CBA；

（2）解：∵在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∴OC=5，
∵△COM∽△CBA，
∴，
∴OM=．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理及矩形的性質，解題的關鍵是仔細分析并找到相等的角來證得相似三角形．