Question

如圖1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，P是BC上任意一點，PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，BG⊥CD于G，可得結論：PE+PF=BG；當點P在BC的延長線上（如圖2）時，其余條件不變，上述結論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，PE、PF、BG之間又有怎樣的關系？請寫出你的猜想，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：首先過點B作BH∥CD，交PF的延長線于點H，易證得四邊形BGFH是平行四邊形，即可得BG=FH，又可證得△PBE≌△PBH，即可得PH=PE，繼而證得PE=PF+BG．
解答：解：不成立，關系為：PE=PF+BG．
過點B作BH∥CD，交PF的延長線于點H，
∵PF⊥CD，BG⊥CD，∠PBH=∠DCB，
∴BG∥FH，PH⊥BH，
∴四邊形BGFH是平行四邊形，∠H=90°，
∴FH=BG，
∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB，
∴∠ABC=∠PBH，
∵PE⊥AB，
∴∠PEB=∠H=90°，
在△PBE和△PBH中，
，
∴△PBE≌△PBH（AAS），
∴PH=PE，
∴PE=PF+FH=PF+BG．
點評：此題考查了等腰梯形的性質、平行四邊形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．