Question

已知：如圖1，從以AB為直徑的圓上一點D引一切線，再從AB上一點C引這條切線的垂線，垂足為E．
（1）如果DC⊥AB且DC交圓于點F，請證明：CE•AB=AC•CB+CD²；

（2）如果DC與AB不垂直如圖2，那（1）中結論是否還成立？請證明你的想法．

Answer 1

證明：（1）連接OD，
∵DE是⊙O的切線且OD為半徑，
∴OD⊥DE．
∵CE⊥DE，
∴OD∥CE．
∴∠ODC=∠DCE．
故Rt△ODC∽Rt△DCE．
∴OD：DC=DC：CE．
即CE•OD=DC²
∵AB=2OD，
∴CE•AB=2CD²．
∵DC⊥AB且AB為直徑，
∴DC²=AC•CB．
∴CE•AB=AC•CB+CD²．

（2）如果DC與AB不垂直，那（1）中結論依然成立．
理由如下：
如圖，連接DO并延長交圓于點G，連接GF．
∵GD為直徑且DE為圓的切線，
∴∠GFD=90°=∠GDE．
∵CE⊥DE，
∴GD∥CE．
∴∠GDC=∠DCE．
故Rt△GDF∽Rt△DCE．
∴GD：CD=DF：CE．
故CE•GD=CD•DF．
∵GD=AB，DF=CD+CF，
∴CD•（CF+CD）=CD•CF+CD²
∵CD•CF=AC•CB，
∴CE•AB=AC•CB+CD²．
分析：（1）連接OD，證明Rt△ODC∽Rt△DCE，根據相似三角形的性質得以證明．
（2）連接DO并延長交⊙于點G，連接GF，證明Rt△GDF∽Rt△DCE，根據相似三角形的性質得以證明．
點評：本題要求的綜合能力較強，主要考查了切線的性質及相似三角形的判定和性質．