Question

對于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），下列說法：
①若，則方程ax²+bx+c=0一定有一根是x=1；
②若c=a³，b=2a²，則方程ax²+bx+c=0有兩個相等的實數根；
③若a＜0，b＜0，c＞0，則方程cx²+bx+a=0必有實數根；
④若ab-bc=0，且，則方程cx²+bx+a=0的兩實數一定互為相反數．其中正確的結論是（ ）
A．①②③④
B．①②④
C．①③
D．②④

Answer 1

【答案】分析：①本題根據一元二次方程的根的定義即可判斷；
②只要證明△=0即可．
③只要驗證△的值大于或等于0，就可以；
④兩實數一定互為相反數，即兩根的和是0，依據一元二次方程根與系數的關系即可作出判斷．
解答：解：①若，兩邊同時乘以c得到a+b+c=0，在ax²+bx+c=0中令x=1，就得到a+b+c=0，即x=1能使方程的左右兩邊相等，因而x=1是方程的解；
②若c=a³，b=2a²，則方程根的判別式△=b²-4ac=4a⁴-4ac=4a⁴-4a⁴=0，∴方程兩個相等的實數根．
③方程根的判別式△=b²-4ac，∵a＜0，b＜0，c＞0，∴△=b²-4ac＞0一定成立，因而方程cx²+bx+a=0必有實數根．
④ab-bc=0即b（a-c）=0，又∵，則a-c≠0，∴b=0，根據韋達定理：兩根的和是=0即兩實數一定互為相反數．
所以正確的答案為①②③④．
故本題選A．
點評：本題主要考查了一元二次方程的解的定義，根的判別式，以及韋達定理的內容．