Question

求自然數(shù)n，使S_n=9+17+25+…+（8n+1）=4n²+5n為完全平方數(shù)．

Answer 1

分析：先將4n²+5n寫成n²（4+

5

n

）的形式，根據(jù)完全平方式的特點(diǎn)，可知（4+

5

n

）必定也是完全平方數(shù)，先求出n的取值范圍，從而確定自然數(shù)n的值．

解答：解：4n²+5n=n²（4+

5

n

）=p²．
若為完全平方數(shù)，則（4+

5

n

）必定也是完全平方數(shù)，
因?yàn)閚是自然數(shù)，所以此時(shí)n若大于5，則不能使原式為整數(shù)，也談不上完全平方數(shù)，
所以0＜n≤5 很容易看出n只能等于1才能使之成為完全平方數(shù)，
∴n=1時(shí)，使S_n=9+17+25+…+（8n+1）=4n²+5n為完全平方數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查完全平方數(shù)的知識(shí)，難度較大，關(guān)鍵是將4n²+5n表示為n²（4+

5

n

）的形式，注意此題的解題思想．