Question

如圖，一條拋物線經過原點，且頂點B的坐標（1，-1）．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）設該拋物線與x軸正半軸的交點為A，求證：△OBA為等腰直角三角形；
（3）設該拋物線的對稱軸與x軸的交點為C，請你在拋物線位于x軸上方的圖象上求兩點E、F，使△ECF為等腰直角三角形，且∠ECF=90°．

Answer 1

（1）解：由題意，設拋物線的解析式為y=a（x-1）²-1，
則0=a（0-1）²-1，
∴a=1．
∴y=（x-1）²-1，
即y=x²-2x．

（2）證明：當y=0時，x²-2x=0解得x=0或x=2．
∴A（2，0）
又B（1，-1），O（0，0），
∴OB²=2，AB²=2，OA²=4．
∴OB²+AB²=OA²
∴∠OBA=90°，且OB=BA．
∴△OBA為等腰直角三角形．

（3）解：如圖，過C作CE∥BO，CF∥AB，分
別交拋物線于點E、F，過點F作FD⊥X軸于D，
則∠ECF=90°，EC=CF，FD=CD．
∴△ECF為等腰直角三角形．
令FD=m＞0，則CD=m，OD=1+m
∴F（1+m，m）
∴m=（1+m）²-2（1+m），
即m²-m-1=0．解得m=
∵m＞0，
∴m=．
∴F（）．
∵點E、F關于直線x=1對稱，
∴E=（）．
分析：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-1）²-1，將O（0，0）點坐標代入拋物線解析式即可；
（2）先求出A點坐標，再根據勾股定理OB²+AB²=OA²即可證明△OBA為等腰直角三角形；
（3）過C作CE∥BO，CF∥AB，找出等腰直角三角形△ECF，再根據已知條件取出E、F兩點坐標．
點評：本題是二次函數的綜合題，題中涉及等腰直角三角形的證明和性質等知識點，解題時要注意數形結合數學思想的運用，是各地中考的熱點和難點，同學們要加強訓練，屬于中檔題．