Question

（2007•泰安）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，E是BC邊上的一個動點（不與B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分別為F，G．
（1）求證：；
（2）FD與DG是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由；
（3）當AB=AC時，△FDG為等腰直角三角形嗎？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由比例線段可知，我們需要證明△ADC∽△EGC，由兩個角對應相等即可證得；
（2）由矩形的判定定理可知，四邊形AFEG為矩形，根據矩形的性質及相似三角形的判定可得到△AFD∽△CGD，從而不難得到結論；
（3）是，利用相似三角形的性質即可求得．
解答：（1）證明：在△ADC和△EGC中，
∵∠ADC=∠EGC，∠C=∠C，
∴△ADC∽△EGC．
∴．（3分）

（2）解：FD與DG垂直．（4分）
證明如下：
在四邊形AFEG中，
∵∠FAG=∠AFE=∠AGE=90°，
∴四邊形AFEG為矩形．
∴AF=EG．
∵，
∴．（6分）
又∵△ABC為直角三角形，AD⊥BC，
∴∠FAD=∠C=90°-∠DAC，
∴△AFD∽△CGD．
∴∠ADF=∠CDG．（8分）
∵∠CDG+∠ADG=90°，
∴∠ADF+∠ADG=90°．
即∠FDG=90°．
∴FD⊥DG．（10分）

（3）解：當AB=AC時，△FDG為等腰直角三角形，理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴AD=DC．
∵△AFD∽△CGD，
∴．
∴FD=DG．
∵∠FDG=90°，
∴△FDG為等腰直角三角形．（12分）
點評：此題考查了相似三角形的判定和性質，①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似．相似三角形的對應邊的比相等，對應角相等．