Question

某工藝品由一個底面朝上的圓錐體上方嵌入一圓球組成，其橫截面如圖所示，已知圓錐的母線AB、AC和球體相切，且與底座夾角均為75°，圓錐體底面的周長為20πcm，求球體的半徑（參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，結果精確到0.1）

Answer 1

解：連接BC，OB，連接OA交BC于點D，
∵圓錐的母線AB、AC和球體相切，
∴OB⊥AB于點B，
∵AB、AC和與底座夾角均為75°，
∴∠BAO=∠BOC=×30°=15°
∵圓錐體底面的周長為20πcm，
∴BD=20π÷2π=10
∴OB=BD÷cos15°=10÷0.97≈10.3cm．
故球體的半徑約為10.3cm．
分析：連接BC，OB，連接OA交BC于點D，首先利用圓錐的底面周長求得線段BC的長，然后求得半徑OB的長即可．
點評：本題考查了圓錐的計算及切線的性質，解題的關鍵是通過作輔助線構造直角三角形并求解．