Question

已知拋物線y=x²-（2m-1）x+4m-6．
（1）試說明對于每一個實數m，拋物線都經過x軸上的一個定點A；
（2）設拋物線與x軸的另一個交點為B（A、B不重合），頂點為C，若△ABC為直角三角形，試求m的值；
（3）在滿足（2）的條件時，若點B在點A的左側，試問：拋物線上是否存在點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是梯形？若存在，求出D點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x²-（2m-1）x+4m-6=0，利用求根公式可解得：x₁=2m-3，x₂=2，所以對于每一個實數m，拋物線都經過x軸上的一個定點A（2，0）．
（2）根據拋物線的對稱性且△ABC為直角三角形，可得△ABC為等腰直角三角形且∠ACB=90°，過點C作CP⊥AB于P，則，利用拋物線y=x²-（2m-1）x+4m-6的頂點公式可知，頂點為，，可得4m²-20m+25=10-4m，解得，（舍去）或4m²-20m+25=4m-10，，（舍去），綜合可得：m的值為或．
（3）先求得拋物線方程為y=x²-2x，設存在點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是梯形，
i）若BD∥AC，設直線AC方程為y=k₁x+b₁，把A、C坐標代入直線方程得，直線AC方程為y=x-2，直線BD方程為y=x，聯立方程組可求得交點坐標為D（3，3）．
ii）若AD∥BC，由于直線BC方程為y=-x，所以，可設直線AD的方程為y=-x+b₂，把A（-2，0）代入得，y=-x+2，聯立方程組可求得交點坐標為D（-1，3）．
所以拋物線上存在點D（3，3）或D（-1，3），使得以為A、B、C、D為頂點的四邊形是梯形．
解答：解：（1）令x²-（2m-1）x+4m-6=0，
有求根公式解得：x₁=2m-3，x₂=2
∴對于每一個實數m，拋物線都經過x軸上的一個定點A（2，0）；

（2）根據拋物線的對稱性且△ABC為直角三角形，可得△ABC為等腰直角三角形且∠ACB=90°如圖，
過點C作CP⊥AB于P，則，
∵拋物線y=x²-（2m-1）x+4m-6的頂點
為，
∴，
∴4m²-20m+25=10-4m，（舍去）
或4m²-20m+25=4m-10，（舍去）
綜上可得：m的值為或

（3）依題意得：m=1.5，此時拋物線方程為y=x²-2x
設存在點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是梯形，
i）若BD∥AC，設直線AC方程為y=k₁x+b₁，
把A、C坐標代入直線方程得，
解得
∴直線AC方程為y=x-2
∴直線BD方程為y=x
由
得
∴D（3，3）
ii）若AD∥BC，由于直線BC方程為y=-x，
所以，可設直線AD的方程為y=-x+b₂，
把A（-2，0）代入得，0=-2+b₂，
∴b₂=2，∴y=-x+2．
∴
解得．
∴D（-1，3）
綜上可得：拋物線上存在點D（3，3）或D（-1，3），使得以為A、B、C、D為頂點的四邊形是梯形．
點評：本題考查二次函數的綜合應用，其中涉及到的知識點有待定系數法求函數解析式和梯形的性質，函數圖象交點的意義等．要熟練掌握才能靈活運用．