Question

在直角坐標系中，已知兩點A（-8，3），B（-4，5）以及動點C（0，n），D（m，0），則當四邊形ABCD的周長最小時，比值

m

n

為

 

．

Answer 1

分析：先根據兩點間的距離公式求出AB的值，再過點B作關于y軸的對稱點B′，過點A作關于x軸的對稱點A′，連接A′B′分別交x、y軸于點D、C，由兩點之間線段最短可知線段A′B′即為四邊形ABCD的周長最小值，用待定系數法求出過A′B′兩點的直線解析式，即可求出C、D的坐標．

解答：解：∵AB=

(-8+4)2+(3-5)2

=2

5

，
∴四邊形ABCD周長=AB+BC+CD+AD=2

5

+BC+CD+AD，
∴求其周長最小值，就是求BC+CD+AD的最小值．過B作y軸對稱點B′（4，5），
則BC=B′C，
過A作x軸對稱點A′（-8，-3），則AD=A′D

∴BC+CD+AD=B′C+CD+A′D≥A′B′
即A′、D、C、B′四點共線時取等號
可求出相應的C、D坐標，
設直線A′B′的方程是y=kx+b（k≠0），
∴

5=4k+b -3=-8k+b

，解得k=

2

3

，b=

7

3

，故過A′B′兩點的一次函數解析式為y=

2

3

x+

7

3

，
∴C（0，

7

3

）D（-

7

2

，0），
即n=

7

3

，m=-

7

2

，

m

n

=-

3

2

．
故答案為：-

3

2

．

點評：本題考查的是兩點之間線段最短及用待定系數法求一次函數的解析式，根據對稱的性質作出A、B的對稱點A′、B′及求出其坐標是解答此題的關鍵．