Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，點P從點A出發沿AD向點D勻速運動，速度是1cm/s，過點P作PE∥AC交DC于點E，同時，點Q從點C出發沿CB方向，在射線CB上勻速運動，速度是2cm/s，連接PQ、QE，PQ與AC交與點F，設運動時間為t（s）（0＜t＜8）．

（1）當t為何值時，四邊形PFCE是平行四邊形；

（2）設△PQE的面積為s（cm2），求s與t之間的函數關系式；

（3）是否存在某一時刻t，使得△PQE的面積為矩形ABCD面積的；

（4）是否存在某一時刻t，使得點E在線段PQ的垂直平分線上．

Answer 1

【答案】（1）（2）s=﹣t2+9t（3）2或6（4）

【解析】

試題分析：（1）四邊形PFCE是平行四邊形則PD=CQ，據此即可得到關于t的方程，即可求解；

（2）用t表示出PD、EC、DE、CQ的長，則四邊形DPQC、△PDE以及△QCE的面積可用t表示，則進一步表示出△PQE的面積，從而得到函數解析式；

（3）根據△PQE的面積為矩形ABCD面積的即可列方程求解；

（4）點E在線段PQ的垂直平分線上，則PE=QE，然后根據勾股定理表示出PE2和QE2，即可列方程求得t的值．

試題解析：（1）PD=8﹣t，CQ=2t，

根據題意得：8﹣t=2t，

解得：t=；

（2）=（PD+CQ）·CD=×6（8﹣t+2t）=3（8+t）=3t+24，

∵PE∥AC，

∴，

∴，

則DE=﹣t+6，

則EC=6﹣（﹣t+6）=t，

則=PD·DE=（8﹣t）·（﹣t+6），

=CQ·EC=×2t·t=t2，

則s=3t+24﹣（8﹣t）·（﹣t+6）﹣t2，

即s=﹣t2+9t；

（3）=6×8=48，

根據由題意得：﹣t2+9t=×48，

解得：t=2或6；

（4）在直角△PDE中，PE2=（8﹣t）2+（﹣t+6）2，

在直角△COQ中，QE2=（2t）2+（t）2，

當點E在線段PQ的垂直平分線上時，PE2=QE2，

則（8﹣t）2+（﹣t+6）2=（2t）2+（t）2，

解得：t=或（舍去）．

則t=．