Question

（1）已知△ABC中，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，且BO、CO相交于點O，試探索∠BOC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

（2）已知BO、CO分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分線，BO、CO相交于O，試探索∠BOC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

（3）已知：BD為△ABC的角平分線，CO為△ABC的外角平分線，它與BO的延長線交于點O，試探索∠BOC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∠BOC=90°+∠A．
理由如下：延長BO交AC于點D，
∵BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，
∴∠A+2∠1+2∠2=180°，
∠BDC=∠A+∠1，
∠BOC=∠BDC+∠2，
∴∠BOC=∠A+∠1+∠2=90°+∠A．
（2）2∠BOC=180°-∠A．
理由如下：
∵BO、CO分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分線，
∴∠DBC=2∠1=∠ACB+∠A，
∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A，
∴2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°，
又∵∠1+∠2+∠BOC=180°，
∴2∠BOC=180°-∠A．

（3）∠BOC=∠A．
理由如下：
∵BD為△ABC的角平分線，CO為△ABC的外角平分線，
∴∠ACE=2∠2=∠A+2∠1，
∠2=∠1+∠BOC，
∴∠BOC=∠A．
分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A+2∠1+2∠2=180°，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，可證∠BOC=90°+∠A．
（2）由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可證2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可證2∠BOC=180°-∠A．
（3）由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可證ACE=2∠2=∠A+2∠1，∠2=∠1+∠BOC，即可證）∠BOC=∠A．
點評：本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系．