Question

【題目】點A是函數y＝（x＞0）上一動點，連接OA，線段OB與OA關于y軸對稱，將線段OA繞點O逆時針旋轉90°得線段OC，將線段OA繞點A逆時針旋轉90°得線段DA．

（1）在圖1中畫出線段OB、OC，保留作圖痕跡；

（2）連接AB、BC、AC，當△AOB的面積等于△BOC的面積時，求△ABC的面積；

（3）如圖3，若點D的坐標為（m，n），直接寫出m與n的等量關系式．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2或2+4；（3）m2﹣n2＝8+8．

【解析】

（1）由旋轉的性質和軸對稱的性質可得；

（2）分OB在∠AOC內部和外部兩種情況討論，先求出OA2＝OB2＝OC2＝4+8，再利用面積和差關系可求解；

（3）過點A作AE⊥x軸于點E，過點D作DF⊥AE于F，由AAS可證△AOE≌△DAF，可得AE＝DF，OE＝AF，即可求OE＝，AE＝，由反比例函數的性質可求解．

解：（1）如圖所示：

（2）∵線段OB與OA關于y軸對稱，將線段OA繞點O逆時針旋轉90°得線段OC，

∴OA＝OB＝OC，∠AOC＝90°，

①當OB在∠AOC內部時，如圖2，作BH⊥OA于H，BG⊥OC于G，設AB交y軸于點E，

∵點A是函數y＝（x＞0）上一動點，

∴S△AOE＝（2+2），

∴S△AOB＝2+2，

∵△AOB的面積等于△BOC的面積，

∴OA×BH＝OC×BG，且OC＝OA，

∴BH＝BG，且BH⊥OA，BG⊥OC，

∴OB平分∠AOC，

∴∠AOB＝45°，且BH⊥AO，

∴∠HOB＝∠HBO，

∴BH＝OH

∴BH＝OH＝OB＝OA，

∵S△AOB＝AO×BH，

∴2+2＝×OA×OA，

∴OA2＝4+8，

∵S△ABC＝S△ABO+S△BOC﹣S△ACO，

∴S△ABC＝2×（2+2）﹣×AO2＝2

②當OB在∠AOC外部時，如圖2﹣1，過點C作CH⊥BO于H，作AG⊥BO于G，

∵△AOB的面積等于△BOC的面積，

∴OB×CH＝OB×AG，

∴CH＝AG，且CH∥AG，

∴四邊形ACHG是平行四邊形，

∴AC∥HG，

∴∠ACO＝∠COB＝45°，

∴∠HCO＝∠HOC＝45°，

∴CH＝OH，

∴CH＝OC＝OB，

∵S△BOC＝BO×CH＝2+2，

∴BO2＝4+8＝OC2，

∵S△ABC＝S△BOC+S△AOC﹣S△AOB＝S△AOC，

∴S△ABC＝OC2＝2+4，

（3）如圖3，過點A作AE⊥x軸于點E，過點D作DF⊥AE于F，

∵將線段OA繞點A逆時針旋轉90°得線段DA，

∴DA＝OA，∠OAD＝90°，

∴∠OAE+∠DAF＝90°，且∠DAF+∠ADF＝90°，

∴∠OAE＝∠ADF，且∠AEO＝∠AFD＝90°，AO＝AD，

∴△AOE≌△DAF（AAS）

∴AE＝DF，OE＝AF，

∵點D的坐標為（m，n），

∴OE+DF＝m，AF﹣AE＝﹣n，

∴OE＝，AE＝，

∵OEAE＝2+2，

∴m2﹣n2＝8+8．