Question

（2003•南寧）如圖，已知E是△ABC的內心，∠BAC的平分線交BC于點F，且與△ABC的外接圓相交于點D．
（1）求證：∠DBE=∠DEB；
（2）若AD=8cm，DF：FA=1：3．求DE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）E是△ABC的內心，AD，BE分別是∠BAC和∠ABC的角平分線，又同弦所對的圓周角相等，易證明∠DBE=∠DEB；
（2）AD=8cm，DF：FA=1：3，易知DF=2，∠DBE=∠DEB，即BD=DE，可以通過證明△DBF∽△DAB得出．
解答：（1）證明：∵E是△ABC的內心，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD，
∵∠CBD=∠CAD，∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠DBE=∠CBD+∠EBC，
∴∠DBE=∠DEB；

（2）解：∵AD=8cm，DF：FA=1：3，
∴DF=2，
∵∠DBC=∠DAC，∠BAD=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAD，
∵∠D=∠D，
∴△DBF∽△DAB，
∴DB：DA=DF：DB，
∵∠DBE=∠DEB，
∴BD=DE，
∴DE=4．
點評：本題考查了三角形的外接圓與內心，同時考查了相似三角形的判定和性質．