Question

如圖所示，正方形ABCD的邊長為1，點M、N分別在BC、CD上，使得△CMN的周長為2．
求：（1）∠MAN的大小；
（2）△MAN面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）延長CB至L，使BL=DN，則Rt△ABL≌Rt△AND，故AL=AN，進而求證△AMN≌△AML，即可求得∠MAN=∠MAL=45°；
（2）設CM=x，CN=y，MN=z，根據x²+y²=z²和x+y+z=2，整理根據△=4（z-2）²-32（1-z）≥0可以解題．
解答：解：（1）如圖，延長CB至L，使BL=DN，則Rt△ABL≌Rt△AND，故AL=AN，
∠1=∠2，∠NAL=∠DAB=90°
又∵MN=2-CN-CM=DN+BM=BL+BM=ML
∴△AMN≌△AML
∴∠MAN=∠MAL=45°

（2）設CM=x，CN=y，MN=z，
則x²+y²=z²，
∵x+y+z=2，則x=2-y-z
于是（2-y-z）²+y²=z²
整理得2y²+（2z-4）y+（4-4z）=0
∴△=4（z-2）²-32（1-z）≥0
即（z+2+）（z+2-）≥0
又∵z＞0
∴z≥-2當且僅當x=y=2-時等號成立
此時S_△AMN=S_△AML=ML•AB=z
因此，當z=-2，x=y=2-時，S_△AMN取到最小值為-1．
點評：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了正方形各邊長相等，各內角為直角的性質，本題中求證△AMN≌△AML是解題的關鍵．