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如圖所示,正方形ABCD的邊長為1,點M、N分別在BC、CD上,使得△CMN的周長為2.
求:(1)∠MAN的大小;
(2)△MAN面積的最小值.

【答案】分析:(1)延長CB至L,使BL=DN,則Rt△ABL≌Rt△AND,故AL=AN,進而求證△AMN≌△AML,即可求得∠MAN=∠MAL=45°;
(2)設CM=x,CN=y,MN=z,根據x2+y2=z2和x+y+z=2,整理根據△=4(z-2)2-32(1-z)≥0可以解題.
解答:解:(1)如圖,延長CB至L,使BL=DN,則Rt△ABL≌Rt△AND,故AL=AN,
∠1=∠2,∠NAL=∠DAB=90°
又∵MN=2-CN-CM=DN+BM=BL+BM=ML
∴△AMN≌△AML
∴∠MAN=∠MAL=45°

(2)設CM=x,CN=y,MN=z,
則x2+y2=z2
∵x+y+z=2,則x=2-y-z
于是(2-y-z)2+y2=z2
整理得2y2+(2z-4)y+(4-4z)=0
∴△=4(z-2)2-32(1-z)≥0
即(z+2+)(z+2-)≥0
又∵z>0
∴z≥-2當且僅當x=y=2-時等號成立
此時S△AMN=S△AML=ML•AB=z
因此,當z=-2,x=y=2-時,S△AMN取到最小值為-1.
點評:本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用,考查了正方形各邊長相等,各內角為直角的性質,本題中求證△AMN≌△AML是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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A、
2
2
B、
2
2
3
C、2-
2
D、
2
-1

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(-2,-3)
(-2,-3)
,點C2的坐標是
(3,1)
(3,1)

(3)求△ABC繞點A逆時針旋轉90°的過程中,線段AB掃過的面積.

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