Question

如圖，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在邊BC上，以AD為邊作正方形ADEF，聯結CF，CE．
（1）求證：FC⊥BC；
（2）如果BD=AC，求證：CD=CE．

Answer 1

證明：（1）∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠FAD=90°=∠BAC，
∴∠FAD-∠DAC=∠BAC-∠DAC，
∴∠FAC=∠BAD，
在△ABD和△ACF中
，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴∠B=∠FCA，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠ACF=90°，
∴FC⊥BC．

（2）∵△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∵BD=AC，
∴AC=CF，
∴∠CAF=∠CFA，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=EF，∠DAF=∠EFA=90°，
∴∠DAF-∠CAF=∠EFA-∠CFA，
∴∠DAC=∠EFC，
在△DAC和△EFC中
，
∴△DAC≌△EFC（SAS），
∴CD=CE．
分析：（1）根據正方形的性質得出AD=AF，∠FAD=90°=∠BAC，求出∠FAC=∠BAD，證出△ABD≌△ACF，推出∠B=∠FCA即可；
（2）根據△ABD≌△ACF，推出BD=CF=AC，求出∠DAC=∠EFC，根據SAS推出△DAC≌△EFC即可．
點評：本題考查了正方形性質，全等三角形的性質和判定，等腰直角三角形性質的應用，主要考查學生綜合運用定理進行推理的能力．