Question

【題目】如圖，已知點A（3，0），以A為圓心作⊙A與Y軸切于原點，與x軸的另一個交點為B，過B作⊙A的切線l．

（1）以直線l為對稱軸的拋物線過點A及點C（0，9），求此拋物線的解析式；
（2）拋物線與x軸的另一個交點為D，過D作⊙A的切線DE，E為切點，求DE的長；
（3）點F是切線DE上的一個動點，當△BFD與△EAD相似時，求出BF的長 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知，拋物線的對稱軸為：x=6

∴設拋物線的解析式為

∵拋物線經過點A（3，0）和C（0，9）

∴

解得： ,k=-3

∴

（2）解：連接AE

∵DE是⊙A的切線，∴∠AED=90°，AE=3

∵直線l是拋物線的對稱軸，點A，D是拋物線與x軸的交點

∴AB=BD=3

∴AD=6

在Rt△ADE中，

∴

（3）解：）當BF⊥ED時∵∠AED=∠BFD=90°∠ADE=∠BDF

∴△AED∽△BFD

∴ 即

∴

當FB⊥AD時∵∠AED=∠FBD=90°∠ADE=∠FDB

∴△AED∽△FBD ∴ 即

∴當△BFD與EAD△相似時，BF的長為 或

【解析】（1）根據題意可知此拋物線的對稱軸為x=6，設拋物線的解析式為頂點式，再將點A、C兩點坐標代入解析式，建立方程求解，即可求出此函數解析式。
（2） 由DE是⊙A的切線，因此添加輔助線連接AE，得出∠AED=90°，AE=3 ，再根據圓的對稱性及拋物線的對稱性，求出AD的長， 在Rt△ADE中，利用勾股定理求出DE的長。
（3）抓住已知點F是切線DE上的一個動點，要使△BFD與△EAD相似，圖形中隱含公共角∠ADE=∠BDF，因此分兩種情況：當BF⊥ED時；當FB⊥AD時，根據相似三角形的性質，得出對應邊成比例，建立方程，即可求出BF的長。
【考點精析】掌握二次函數的性質和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．