Question

【題目】（問題引入）

如圖（1），在中，，，過作則交延長線于點，則易得

（直接應用）

如圖,已知等邊的邊長為,點, 分別在邊, 上, , 為中點，為當上一動點，當在何處時，與相似，求的值.

（拓展應用）

已知在平行四邊形中，，，，,，求長.

Answer 1

【答案】【直接應用】的值是或或；【拓展應用】

【解析】

(1)分兩種情況進行假設：①和是對應邊時,，或②和是對應邊時,根據相似三角形的性質進行求解即可；

（2）反向延長EF，與BA，BC的延長線相交于點N、M，根據題意可得均為等腰三角形，從而求得，，將繞旋轉到，作，可得，由勾股定理得再證明，即可得解.

[直接應用]

設

∵等邊的邊長為，

，

∵為中點，

，

①和是對應邊時,，

，即，

整理得，解得，即的長為或；

②和是對應邊時,，

，即，解得，即.

綜上所述，的值是或或.

[拓展應用]

反向延長EF，與BA，BC的延長線相交于點N、M，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠A=60°，AB∥CD,

∴∠D=120°，

∴∠ANE=∠CMF=30°, ∠AEN=∠CFM=30°

均為等腰三角形，

∵AE=2，CF=3，

易得，，

將繞旋轉到，

，

作，

，

又

由旋轉的性質得，BE=BG，∠ABE=∠GBC

∵∠A=60°

∴∠ABC=120°

∵∠EBF=60°，

∴∠ABE+∠CBF=60°，

∴∠GBF=60°=∠EBF，

又BF=BF

∴