Question

如圖，直線y=x+b（b≠0）交坐標軸于A、B兩點，交雙曲線y=

2

x

于點D，過點D作兩坐標軸的垂線DC、DE，連接OD．
（1）請找出圖形中所有的等腰直角三角形．（不必寫過程）
（2）對任意的實數b（b≠0），AD•BD為定值

 

．（直接寫出答案）；
（3）是否存在直線AB，使得四邊形OBCD為平行四邊形？若存在，求出直線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據直線的k值等于1，與坐標軸相交所成的銳角是45°，所以與坐標軸所成夾角為銳角的直角三角形都是等腰直角三角形；
（2）根據等腰直角三角形斜邊等于直角邊的

2

倍，用CD表示出AD的長度，用DE表示出BD的長度，再根據反比例函數解析式，CD•DE的值等于k值進行解答；
（3）根據平行四邊形對邊平行且相等，對角線互相平分的性質，OB=a（a＞0），表示出點B與點D的坐標，再把點D的坐標代入反比例函數解析式求出a值，如果求出a＞0，然后得到點B的坐標，再根據點B在直線y=x+b上，把點B的坐標代入直線解析式求出b值即可，如果a≤0，則不存在滿足條件的直線．

解答：解：（1）∵直線y=x+b，
∴比例系數k=1，
∴∠EBD=∠DAC=45°，
又DC⊥x軸，DE⊥y軸，
∴△AOB、△ACD、△BDE是等腰直角三角形；

（2）由（1）知△ACD和△BDE均為等腰直角三角形．
∴AD=

2

CD，BD=

2

DE．
∵點D在雙曲線y=

2

x

上，
∴CD•DE=2，
∴AD•BD=

2

CD•

2

DE=2×2=4為定值，
定值為4；

（3）存在直線AB，使得四邊形OBCD為平行四邊形．
理由如下：若四邊形OBCD為平行四邊形，則AO=AC，OB=CD，
由（1）知AO=BO，AC=CD，
設OB=a （a＞0），
則B（0，-a），D（2a a），
∵點D在雙曲線y=

2

x

上，
∴2a•a=2，
解得a₁=1，a₂=-1（舍去），
∴B（0，-1），D（2，1）
又B在y=x+b上，
∴b=-1，
即存在直線AB：y=x-1，使得四邊形OBCD為平行四邊形．

點評：本題是反比例函數綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質以及平行四邊形的判定和性質．