Question

等腰梯形的對角線所夾銳角為60°，如圖所示，若梯形上下底之和為2

3

，則該梯形的高為

 

．

Answer 1

分析：過D作DE∥AC交BC的延長線于E，DQ⊥BC于Q，證四邊形ADEC是平行四邊形，可推出AD=CE，DE=AC，根據等腰梯形性質可以得到AC=BD=DE，再證△DBE是等邊三角形，可以求出QE，再根據直角三角形性質求出DE，根據勾股定理求出DQ即可．

解答：解：
過D作DE∥AC交BC的延長線于E，DQ⊥BC于Q，
（1）當∠BWC=60°時，
當∵AD∥BC，DE∥AC，
∴四邊形ADEC是平行四邊形，
∴AC=DE，∠BDE=∠BWC=60°，AD=CE，
∴BE=2

3

∵AD∥BC，AB=CD，
∴AC=BD=DE，
∴三角形DBE是等邊三角形，
∴∠E=60°，
∵DQ⊥BC，
∴BQ=QE=

1

2

×2

3

=

3

，
∵∠QDE=90°-60°=30，
∴DE=2EQ=2

3

，
在△DQE中，由勾股定理得：DQ=

DE2-QE2

=3，
（2）當∠DWC=60°時，
∠BWC=180°-60°=120°，
又AC∥DE，
∴∠BDE=∠BWC=120°，
∴△BDE是等腰三角形，且底邊BE=2

3

，
因而∠CED=（180°-120°）×

1

2

=30°，
作DQ⊥BE，則QE=

3

，DQ=

3

×tan30°=1，
故答案為：3或1．

點評：本題主要考查對等腰梯形性質，等邊三角形的性質和判定，平行四邊形的性質和判定，平行線的性質，三角形的內角和定理，勾股定理等知識點的理解和掌握，能把梯形轉化成平行四邊形和等腰三角形是解此題的關鍵．