Question

如圖，AB是⊙O的切線，切點為A，OB與⊙O交于C，且點C為OB的中點，過C點作弦CD使∠ACD=45°，弧AD的長為π，則以AD和AC的長為兩根的一元二次方程是（ ）

A．x²-（2+）x+2=0
B．x²-（2+）x-2=0
C．x²-（2-）x+2=0
D．x²-（2-）x-2=0

Answer 1

【答案】分析：連OA、OD，設⊙O半徑為R，根據圓周角定理得到∠AOD=2∠ACD=90°，則△AOD為等腰直角三角形，再利用弧長公式有=π，解得R=，則AD=OD=×=2，然后根據切線的性質得OA⊥AB，即∠OAB=90°，而點C為OB的中點，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AC=BC=OC=，根據根與系數的關系可得以2和為根的一元二次方程可為（x-2）（x-）=0，化為一般式為：x²-（2+）x+2=0．
解答：解：連OA、OD，如圖，設⊙O半徑為R，
∵∠ACD=45°，
∴∠AOD=2∠ACD=90°，則△AOD為等腰直角三角形，
∴弧AD的長=，
而弧AD的長為π，
∴=π，解得R=，
∴AD=OD=×=2，
又∵AB是⊙O的切線，
∴OA⊥AB，即∠OAB=90°，
∵點C為OB的中點，
∴AC=BC=OC=，
∴以2和為根的一元二次方程可為（x-2）（x-）=0，
化為一般式為：x²-（2+）x+2=0．
故選A．
點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了圓周角定理、弧長公式、直角三角形斜邊上的中線性質以及一元二次方程根與系數的關系．