Question

（2005•金華）如圖，拋物線y=ax²+bx+c經過點O（0，0），A（4，0），B（5，5）．點C是y軸負半軸上一點，直線l經過B，C兩點，且tan∠OCB=．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求直線l的解析式；
（3）過O，B兩點作直線，如果P是直線OB上的一個動點，過點P作直線PQ平行于y軸，交拋物線于點Q．問：是否存在點P，使得以P，Q，B為頂點的三角形與△OBC相似？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意設拋物線解析式為y=ax（x-4），把B（5，5）代入求得解析式．
（2）過點B作BD⊥y軸于點D，求出點C的坐標．設直線l的解析式為y=kx-4，把點B的坐標代入求出k值之后可求出直線l的解析式．
（3）首先證明△PBQ∽△OBC根據線段比求出P₂，然后可知拋物線y=x²-4x與直線l的交點就是滿足題意的點Q，令x²-4x=x-4求出P₁的坐標．然后分情況討論點P的坐標的位置．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經過點（0，0），（4，0），
可設拋物線解析式為y=ax（x-4），
把B（5，5）代入，
解得a=1，
∴拋物線解析式為y=x²-4x．（4分）

（2）過點B作BD⊥y軸于點D．
∵點B的坐標為（5，5），
∴BD=5，OD=5．
∵tan∠OCB==，
∴CD=9，
∴OC=CD-OD=4．
∴點C坐標為（0，-4）．（2分）
設直線l的解析式為y=kx-4，
把B（5，5）代入，得5=5k-4，
解得k=．
∴直線l的解析式為y=x-4．（2分）

（3）當點P在線段OB上（即0＜x＜5時），
∵PQ∥y軸，
∴∠BPQ=∠BOC=135度．
當=時，△PBQ∽△OBC．
這時，拋物線y=x²-4x與直線l的交點就是滿足題意的點Q，
那么x²-4x=x-4，
解得x₁=5（舍去），x₂=，
∴P₁（，）；（2分）
又當=時，△PQB∽△OBC．
∵PB=（5-x），PQ=x-（x²-4x）=5x-x²，OC=4，OB=5，
∴，
整理得2x²-15x+25=0，
解得x₁=5（舍去），x₂=，
∴P₂（，）．（2分）
當點P在點O左側（即x＜0=時），
∵PQ∥y軸，
∴∠BPQ=45°，△BPQ中不可能出現135°的角，這時以P，Q，B為頂點的三角形不可能與△OBC相似．
當點P在點B右側（即x＞5）時，
∵∠BPQ=135°，
∴符合條件的點Q即在拋物線上，同時又在直線l上；
或者即在拋物線上，同時又在Q₂，B所在直線上（Q₂為上面求得的P₂所對應）．
∵直線l（或直線Q₂B）與拋物線的交點均在0＜x≤5內，而直線與拋物線交點不可能多于兩個，
∴x＞5時，以P，Q，B為頂點的三角形也不可能與△OBC相似．
綜上所述，符合條件的點P的坐標只有兩個：P₁（，），P₂（，）．（2分）
點評：本題考查的是二次函數的有關知識，特別要注意的是考生需全面分析討論從而求解．