Question

（2009•蘭州）如圖，在四邊形ABCD中，E為AB上一點，△ADE和△BCE都是等邊三角形，AB、BC、CD、DA的中點分別為P、Q、M、N，試判斷四邊形PQMN為怎樣的四邊形，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：先利用中位線定理得出PQAC，MNAC即MNPQ得到四邊形PQMN為平行四邊形，再求得△AEC≌△DEB，得到PQ=AC=BD=PN，所以四邊形PQMN為菱形．
解答：解：四邊形PQMN為菱形．
證明：如圖，連接AC、BD．
∵PQ為△ABC的中位線，
∴PQAC．
同理MNAC．
∴MNPQ，
∴四邊形PQMN為平行四邊形．
在△AEC和△DEB中，
AE=DE，EC=EB，∠AED=60°=∠CEB，
即∠AEC=∠DEB．
∴△AEC≌△DEB．
∴AC=BD．
∴PQ=AC=BD=PN
∴四邊形PQMN為菱形．
點評：主要考查了等邊三角形的性質以及中位線定理和菱形的判定．要牢記這些性質定理才會靈活運用．