Question

如圖，已知AB是⊙O₁的直徑，點C是⊙O₁上不同于A，B的一點，以線段AC為直徑作⊙O₂交AB于點D，過點D作DE∥BC，交⊙O₂于點E，交AC于點F．求證：
（1）EC是⊙O₁的切線；
（2）CE²=EF•BC．

Answer 1

證明：（1）連接O₁C，則∠O₁CB=∠B，
∵DE∥BC，
∴∠EDA=∠B．
∵∠EDA=∠ECA，
∴∠ECA=∠O₁CB．
∵AB是⊙O₁的直徑，
∴∠ACO₁+∠O₁CB=90°．
∵∠ECA=∠O₁CB，
∴∠ACO₁+∠ECA=90°．
∴EC是⊙O₁的切線．

（2）連接CD，則∠CDA=∠CDB=90°，
∵DE∥BC，∠ACB=90°，
∴∠CFD=∠ACB=90°．
∵AC是⊙O₂的直徑，
∴AC垂直平分ED．
∴EF=FD，CE=CD．
∵∠FDC=∠DCB，∠CFD=∠BDC=90°，
∴△CFD∽△BDC．
∴．
∴CD²=FD•BC．
∵EF=FD，CE=CD，
∴CE²=EF•BC．
分析：（1）要證EC是⊙O₁的切線，只要證明∠O₁CB=90°即可．
（2）連接CD，由Rt△CFD∽Rt△BDC得CD²=FD•BC，由垂徑定理知，CE=CD，EF=FD，故有CE²=EF•BC
點評：此題主要考查切線的判定，相似三角形的判定及圓周角定理的綜合運用．