Question

如圖所示，已知拋物線y=x²-1與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點c．

【小題1】(1)求A、B、C三點的坐標．
【小題2】(2)過點A作AP∥CB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積．
【小題3】 (3)在x軸上方的拋物線上是否存在一點M，過M作MG⊥x軸于點G，使以A、M、G三點為頂點的三角形與△PCA相似．若存在，請求出M點的坐標；否則，請說明理由。

Answer 1

【小題1】解：(1)令y=0，得x₂-1="0 " 解得x=±1
令x=0，得y=-1
∴A(-1，0)  B(1，0)  C(0，-1)
【小題2】(2)∵OA="OB=OC=1 " ∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°
∵AP∥CB，∴∠PAB=45°
過點P作PE⊥x軸于E，則△APE為等腰直角三角形
令OE=a，則PE="a+1 " ∴P(a，a+1)
∵點P在拋物線y=x²-1上 ∴a+1=a##2-1
解得a₁=2，a₂=-1(不合題意，舍去)
∴PE=3
∴四邊形ACBP的面積S=AB·OC+AB·PE=×2×1+×2×3=4
【小題3】(3)假設存在                        
∵∠PAB=∠BAC=45° ∴PA⊥AC
∵MG⊥x軸于點G，∴∠MGA=∠PAC=90°
在Rt△AOC中，OA="OC=1 " ∴AC=
在Rt△PAE中，AE="PE=3 " ∴AP=
設M點的橫坐標為m，則M(m，m²-1)
①點M在y軸左側時，則m＜-1
(i)當△AMG∽△PCA時，有
∵AG=-m-1，MG=m²-1
即  解得m₁=-1(舍去)  m₂=(舍去)
(ii)當△MAG∽△PCA時有
即  解得：m=-1(舍去)  m₂=-2
∴M(-2，3)
②點M在y軸右側時，則m＞1          
(i)當△AMG∽△PCA時有
∵AG=m+1，MG=m₂-1
∴   解得m₁=-1(舍去)  m₂= ∴
(ii)當△MAG∽△PCA時有
即
解得：m₁=-1(舍去)  m₂="4 " ∴M(4，15)
∴存在點M，使以A、M、G三點為頂點的三角形與△PCA相似
M點的坐標為(-2，3)，(，)，(4，15)

解析