Question

實(shí)數(shù)x，y，z，w滿足

(22x+1)(22y+2)(22z+4)(22w+8)

128

=2x+y+z+w，則x²+y²+z²+w²=

 

．

Answer 1

分析：首先將原等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)等式左右兩邊質(zhì)因數(shù)分解的具體情況判斷出四個(gè)未知數(shù)的值．

解答：解：原式可化為

(22x+1)(22y-1+1)(22z-2+1)(22w-3+1)• 21+2+3

27

=2^x+y+z+w；
即（2^2x+1）（2^2y-1+1）（2^2z-2+1）（2^2w-3+1）=2^x+y+z+w+1；
等式的右邊是2的冪乘積的形式，那么根據(jù)質(zhì)因數(shù)分解定理知：等式左邊也必須是2的冪相乘的形式；
顯然，2^2x=2^2y-1=2^2z-2=2^2w-3=1，即2x=2y-1=2x-2=2w-3=0，
解得：x=0，y=

1

2

，z=1，w=

3

2

，
所以x²+y²+z²+w²=

7

2

．

點(diǎn)評(píng)：題目中既用到了分式的基本性質(zhì)、冪的運(yùn)算，還涉及到質(zhì)因數(shù)分解的相關(guān)知識(shí)，難度較大．