Question

如圖，已知AD=30，點B，C是AD上的三等分點，分別以AB，BC，CD為直徑作圓，圓心分別為E，F，G，AP切⊙G于點P，交⊙F于M，N，求弦MN的長．

Answer 1

分析：連接PG、MF，過F作FQ⊥MN于點Q，易證△AFQ∽△AGP，根據相似三角形的性質即可求得QF的長，然后利用垂徑定理即可求解．

解答：解：連接PG、MF，過F作FQ⊥MN于點Q．
∵AD=30，點B，C是AD上的三等分點，
∴AE=BE=BF=CF=CG=DG=5，
則AG=25，PG=5，
∵AD是圓的切線，
∴PG⊥AD，
又∵FQ⊥MN，
∴△AFQ∽△AGP，
∴

FQ

PG

=

AF

AG

=

3

5

，
∴FQ=

3

5

PG=3，
在直角△FQM中，MQ=

MF2-FQ2

=

52-32

=4，
則MN=2MQ=8．

點評：本題是垂徑定理，切線的性質定理以及相似三角形的判定與性質的綜合應用，正確作出輔助線是關鍵．