Question

如圖所示等腰梯形ABCD中，AD=BC，AB∥CD，對角線AC與BD交于O，∠ACD=60°，點S、P、Q分別是OD、OA、BC的中點．
求證：△PQS是等邊三角形．

Answer 1

【答案】分析：由于梯形ABCD是等腰梯形∠ACD=60°，可知△OCD與△OAB均為等邊三角形．連接CS，BP根據等邊三角形的性質可知△BCS與△BPC為直角三角形，再利用直角三角形的性質可知QS=BP=BC，由中位線定理可知，QS=QP=PS=BC，故△PQS是等邊三角形．
解答：證明：連CS，BP．
∵四邊形ABCD是等腰梯形，且AC與BD相交于O，
∴可得出：△CAB≌△DBA，
∴∠CAB=∠DBA，
同理可得出：∠ACD=∠BDC，
∴AO=BO，CO=DO．
∵∠ACD=60°，
∴△OCD與△OAB均為等邊三角形．
∵S是OD的中點，
∴CS⊥DO．
在Rt△BSC中，Q為BC中點，SQ是斜邊BC的中線，
∴SQ=BC．
同理BP⊥AC．
在Rt△BPC中，PQ=BC．
又∵SP是△OAD的中位線，
∴SP=AD=BC．
∴SP=PQ=SQ．
故△SPQ為等邊三角形．
點評：本題主要考查等腰梯形及直角三角形的性質，三角形中位線定理．