Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OEFG的頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，0），頂點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，2），將矩形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)F落在y軸的點(diǎn)N處，得到矩形OMNP，OM與GF交于點(diǎn)A．
（1）判斷△OGA和△OMN是否相似，并說明理由；
（2）求圖象經(jīng)過點(diǎn)A的反比例函數(shù)的解析式；
（3）設(shè)（2）中的反比例函數(shù)圖象交EF于點(diǎn)B，求直線AB的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩個(gè)角對應(yīng)相等，即可證明兩個(gè)三角形相似；
（2）要求反比例函數(shù)的解析式，則需求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，即要求得AG的長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的兩個(gè)圖形全等的性質(zhì)以及相似三角形的對應(yīng)邊的比相等可以求解；
（3）要求直線AB的解析式，主要應(yīng)求得點(diǎn)B的坐標(biāo)．根據(jù)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是4和（2）中求得的反比例函數(shù)的解析式即可求得．再根據(jù)待定系數(shù)法進(jìn)行求解．

解答：解：（1）△OGA∽△OMN，
理由：
∵∠OGA=∠M=90°，
∠GOA=∠MON
∴△OGA∽△OMN；

（2）由（1）得

AG

NM

=

OG

OM

，
∴

AG

2

=

2

4

，
∴AG=1，
設(shè)反比例函數(shù)為y=

k

x

（k不等于0），
把A（1，2）代入得k=2，
∴過點(diǎn)A的反比例函數(shù)的解析式為y=

2

x

；

（3）∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，
把x=4代入y=

2

x

中得y=

1

2

，
故B（4，

1

2

），
設(shè)直線AB的解析式是y=mx+n，
把A（1，2），B（4，

1

2

）代入
得

m+n=2 4m+n= 1 2

，
解得

m=- 1 2 n= 5 2

，
∴直線AB的解析式為y=-

1

2

x+

5

2

．

點(diǎn)評：此題要求學(xué)生：
①能夠根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到對應(yīng)邊相等；
②掌握相似三角形的判定和性質(zhì)；
③能夠運(yùn)用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的解析式確定點(diǎn)的坐標(biāo)．