Question

小明同學在用紙杯喝水時，對紙杯產生了興趣，發現紙杯是圓臺形狀（一個大圓錐截去一個小圓錐后的余下部分），如圖，他對紙杯進行測量，測得上口直徑AC=7.5cm，下底直徑BD=5cm，母線長CD=9cm，請你幫助小明計算制成這個紙杯至少需用紙的面積是

 

cm²．（連接處忽略不計，結果用含π的代數式表示）

Answer 1

分析：利用相似可分別求得兩個圓錐的母線長，需用紙的面積=兩個圓錐的側面積相減，圓錐的側面積=底面周長×母線長÷2．

解答：解：如圖是圓錐的正截面，OH⊥HE，GF∥HE，作FW⊥HE．
∴GF=WH=2.5，HE=3.75，WE=1.25，EF=9，
四邊形FGHW是矩形，EF：EO=WE：HE，
∴OE=

EF•HE

WE

=27，OF=18，
小圓錐的側面面積=

1

2

×5π×18=45π，
大圓錐的側面面積=

1

2

×7.5π×27=101.25π，
∴圓臺的側面面積=101.25π-45π=56.25πcm²．
又∵S_底=π（

5

2

）²=6.25πcm²
故至少需用紙的面積是56.25π+6.25π=62.5πcm²

點評：本題利用了矩形的性質，平行線截對應線段成比例，圓的周長公式，扇形的面積公式求解．