Question

如圖所示的直角坐標系中，以點A（，0）為圓心，以2為半徑的圓與x軸交于B、C兩點，與y軸交于D、E兩點．
（1）求點D的坐標；
（2）求經過B、C、D三點的拋物線的解析式；
（3）若⊙A的切線交x軸正半軸于點M，交y軸負半軸于點N，且∠OMN=30°，試判斷直線MN是否經過所求拋物線的頂點？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD，構造直角三角形解答，在直角△ADO中，OA=，AD=2，根據勾股定理就可以求出AD的長，求出D的坐標．
（2）求出B、C、D的坐標，用待定系數法設出一般式解答；
（3）求出拋物線交點坐標，連接AP，則△APM是直角三角形，且AP等于圓的半徑，根據三角函數就可以求出AM的長，已知OA，就可以得到OM，則M點的坐標可以求出；同理可以在直角△BNM中，根據三角函數求出BN的長，求出N的坐標，根據待定系數法就可以求出直線MN的解析式．將交點坐標代入直線解析式驗證即可．
解答：解：（1）連接AD，得
OA=，AD=2，
∴OD===3，
∴D（0，-3）．

（2）∵點A（，0）為圓心，以2為半徑的圓與x軸交于B、C兩點，
∴B（-，0），C（3，0），D（0，-3）
將AB，C，D三點代入拋物線y=ax²+bx+c得，
，
解得
∴拋物線為．

（3）連接AP，在Rt△APM中，∠PMA=30°，AP=2
∴AM=4
∴M（5，0）
∵
∴N（0，-5）
設直線MN的解析式為y=kx+b，由于點M（5，0）和N（0，-5）在直線MN上，
則，
解得
∴直線MN的解析式為
∵拋物線的頂點坐標為（，-4），
當x=時，y=
∴點（，-4）在直線上，
即直線MN經過拋物線的頂點．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及用待定系數法求函數解析式和圓以及存在性問題相結合，考查了同學們的實際應用能力，注意利用數形結合得出是解題關鍵．