Question

已知：如圖，D為△ABC的邊AC上一點(diǎn)，F(xiàn)為AB延長線上一點(diǎn)，DF交BC于E．
（1）若E是DF的中點(diǎn)，CD=BF，試判定△ABC的形狀．
（2）若AC•DE=AB•EF，證明：CD=BF．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)E是中點(diǎn)和CD=BF可以想到，△FBE與另一個(gè)三角形全等，所以過D作DG∥AB，這樣△FBE≌△DGE，所以FB、GD、CD都相等∠C=∠DGC=∠ABC，所以三角形是等腰三角形；
（2）先把乘積式轉(zhuǎn)化成比例式

DE

EF

=

AB

AC

，所以需要過D作DG∥AB，再利用平行得

DE

EF

=

GD

FB

，而由于平行還可以得到△ABC∽△DGC，得到

CD

AC

=

GD

AB

，通過比例轉(zhuǎn)化和等量代換即可得到CD=BF．

解答：（1）解：過D作DG∥AB交BC于G，
∴

GD

FB

=

DE

EF

，∠CGD=∠ABC
∵E是DF的中點(diǎn)，
∴DE=EF
∴GD=FB
又∵CD=FB，∴CD=GD
∴∠C=∠CGD
∴∠C=∠ABC
所以△ABC是等腰三角形．

（2）證明：過D作DG∥AB交BC于G，
∴

DE

EF

=

GD

FB

，

GD

AB

=

CD

AC

∴

GD

CD

=

AB

AC

又∵AC•DE=AB•EF
∴

DE

EF

=

AB

AC

∴

GD

FB

=

GD

CD

∴CD=BF．

點(diǎn)評(píng)：本題旨在考查通過作輔助線，把相關(guān)的兩個(gè)量通過中間的一個(gè)量代換，從而使問題得以解決．