Question

3、已知△ABC為銳角三角形，⊙O經過點B，C，且與邊AB，AC分別相交于點D，E．若⊙O的半徑與△ADE的外接圓的半徑相等，則⊙O一定經過△ABC的（　　）

A、內心

B、外心

C、重心

D、垂心

Answer 1

分析：連接BE．根據兩個圓的半徑相等和圓周角定理可以證明∠BAC=∠ABE，再結合三角形的外角的性質可以證明∠BEC=2∠BAC，從而肯定該圓一定過三角形的外心．

解答：解：如圖，連接BE．
因為△ABC為銳角三角形，所以∠BAC，∠ABE均為銳角．
又因為⊙O的半徑與△ADE的外接圓的半徑相等，且DE為兩圓的公共弦，所以∠BAC=∠ABE．
于是，∠BEC=∠BAC+∠ABE=2∠BAC．
若△ABC的外心為O₁，則∠BO₁C=2∠BAC，
所以⊙O一定過△ABC的外心．
故選B．

點評：此題綜合運用了圓周角定理、三角形的外角的性質．