Question

如圖，AB是⊙O的直徑，M是⊙O上一點，MN⊥AB，垂足為N．P、Q分別是、上一點（不與端點重合），如果∠MNP=∠MNQ，下面結論：①∠1=∠2；②∠P+∠Q=180°；③∠Q=∠PMN；④PM=QM；⑤MN²=PN•QN．其中正確的是（ ）

A．①②③
B．①③⑤
C．④⑤
D．①②⑤

Answer 1

【答案】分析：根據圓周角定理及已知對各個結論進行分析，從而得到答案．
解答：解：延長MN交圓于點W，延長QN交于圓點E，延長PN交于圓點F，連接PE，QF
∵∠PNM=∠QNM，MN⊥AB，
∴∠1=∠2（故①正確），
∵∠2與∠ANE是對頂角，
∴∠1=∠ANE，
∵AB是直徑，
∴可得PN=EN，
同理NQ=NF，
∵點N是MW的中點，MN•NW=MN²=PN•NF=EN•NQ=PN•QN（故⑤正確），
∴MN：NQ=PN：MN，
∵∠PNM=∠QNM，
∴△NPM∽△NMQ，
∴∠Q=∠PMN（故③正確）．
故選B．
點評：本題利用了相交弦定理，相似三角形的判定和性質，垂徑定理求解．