Question

（1998•溫州）如圖，二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于點A（1，0）和點B（點B在點A右側），與y軸交于點C（0，2）．
（1）請說明a、b、c的乘積是正數還是負數；
（2）若∠OCA=∠CBO，求這個二次函數的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據C點的坐標可知：c=2＞0，A，B均在x軸正半軸上，因此拋物線與x軸兩交點的積＞0，因此a＞0，拋物線的對稱軸-＞0，因此b＜0．可據此求出a，b，c的乘積的符號．
（2）若∠OCA=∠CBO，那么△COA∽△BOC，可據此求出OB的長，即可求出B點的坐標，進而可根據A，B，C三點的坐標求出拋物線的解析式．
解答：解：（1）由于拋物線過C（0，2），因此c=2＞0．
根據圖形有：＞0，-＞0，
因此a＞0，b＜0．
∴abc＜0，即a、b、c的乘積是負數．

（2）∵∠OCA=∠CBO，∠COA=∠BOC=90°，
∴△COA∽△BOC，
∴，
即OB===4，
即B點坐標為（4，0）．
設拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-4）．由于拋物線過C點，
因此a（0-1）×（0-4）=2，a=．
因此拋物線的解析式為y=（x-1）（x-4）．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質、韋達定理、二次函數的綜合應用等知識點．