Question

（2013•徐匯區(qū)二模）拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，

9

4

），對(duì)稱軸是直線x=2，頂點(diǎn)是D，與x軸正半軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B．
（1）求拋物線y=ax²+bx（a≠0）的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；     
（2）過(guò)點(diǎn)D作y軸的垂線交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)M在射線BO上，當(dāng)以DC為直徑的⊙N和以MB為半徑的⊙M相切時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，

9

4

），對(duì)稱軸是直線x=2，可得關(guān)于a，b的方程組，求得a，b的值，從而得到拋物線y=ax²+bx（a≠0）的解析式；再根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得到頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)⊙M的半徑為r．分兩種情況：①當(dāng)⊙M和⊙N外切時(shí)，此時(shí)點(diǎn)M在線段BO上；②當(dāng)⊙M和⊙N外切時(shí)，此時(shí)點(diǎn)M在線段BO的延長(zhǎng)線上；列出關(guān)于r的方程，求得r的值，從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意，得

a+b= 9 4 - b 2a =2

，
解得：

a=- 3 4 b=3

．
則拋物線y=ax²+bx（a≠0）的解析式y=-

3

4

x2+3x，頂點(diǎn)D（2，3）．  

（2）設(shè)⊙M的半徑為r．
由當(dāng)以DC為直徑的⊙N和以MB為半徑的⊙M相切時(shí)，分下列兩種情況：
①當(dāng)⊙M和⊙N外切時(shí)，此時(shí)點(diǎn)M在線段BO上，
可得3²+（4-r-1）²=（r+1）²．
解得r=

17

8

，
∴M(

15

8

，0)．
②當(dāng)⊙M和⊙N內(nèi)切時(shí)，此時(shí)點(diǎn)M在線段BO的延長(zhǎng)線上，
可得3²+（r-1-2）²=（r-1）²．
解得r=

17

4

，
∴M(-

1

4

，0)．
綜合①、②可知，當(dāng)⊙M和⊙N相切時(shí)，M(

15

8

，0)或M(-

1

4

，0)．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，對(duì)稱軸公式、頂點(diǎn)坐標(biāo)公式；第（2）問注意分內(nèi)切和外切兩種情況討論求解，綜合性較強(qiáng)．