Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，F、G是AD邊上的兩個點，且FC平分∠BCD，GB平分∠ABC，FC與GB交于點E．
①AB=AG；②連接BF、CG，則四邊形BFGC為等腰梯形；③AF=DG；④△ABG∽△DCF．
以上四個結論中一定成立的有（　　）個．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①根據角平分線的定義可得∠ABG=∠CBG，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠CBG=∠AGB，從而得到∠ABG=∠AGB，然后利用等角對等邊即可證明；
②根據等腰梯形的對角線相等可得BG=CF，又等腰梯形的兩對角線與同一底邊的夾角相等，所以∠CBG=∠BCF，然后根據角平分線的定義可得∠ABC=∠BCD，與平行四邊形ABCD相矛盾；
③根據角平分線的定義結合兩直線平行，內錯角相等的性質，以及等角對等邊可得AB=AG，CD=DF，再結合圖形可以推出AF=FG；
④兩三角形形狀不同，不可能相似．

解答：解：①∵GB平分∠ABC，
∴∠ABG=∠CBG，
在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，
∴∠CBG=∠AGB，
∴∠ABG=∠AGB，
∴AB=AG，故本小題正確；

②假設四邊形BFGC為等腰梯形，則
BG=CF，
∴∠CBG=∠BCF，
又∵FC平分∠BCD，GB平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBG，∠BCD=2∠BCF，
∴∠ABC=∠BCD，
由圖可知，平行四邊形ABCD的兩鄰角∠ABC和∠BCD不相等，故本小題錯誤；

③根據①AB=AG，
同理可得，CD=DF，
在平行四邊形ABCD中，AB=CD，
∴AG=DF，
∴AG-GF=DF-GF，
即AF=DG，故本小題正確；

④由圖可知，△ABG是鈍角三角形，△DCF是銳角三角形，
所以△ABG和△DCF形狀不同，不可能相似，故本小題錯誤，
綜上所述，正確的是①③共2個．
故選B．

點評：本題考查了等腰三角形的判定，平行四邊形的性質，等腰梯形的性質，以及相似三角形的判定，綜合題，但難度不大，注意利用分析法與綜合法兩種求解方法解答．