Question

如圖，在平面直角坐標系中，過A（-1，0）、B（3，0）兩點的拋物線交y軸于點C，其頂點為點D，設△ACD的面積為S₁，△ABC的面積為S₂．小芳經探究發現：S₁：S₂是一個定值．則這個定值為

 

．

Answer 1

分析：設二次函數的解析式是y=a（x+1）（x-3），即y=ax²-2ax-3a，即可求得C的坐標，表示出S₂的值，然后利用待定系數法求得AD的解析式，進而求得EO的值，得到CE的長，根據三角形面積公式即可求得S₁，進而求解．

解答：解：設二次函數的解析式是y=a（x+1）（x-3），即y=ax²-2ax-3a．
令x=0，解得：y=-3a，則OC=3a．
∴S₂=

1

2

AB•OC=

1

2

×4•3a=6a；
∵D是拋物線的頂點．
∴D的橫坐標是：

1

2

（-1+3）=1，把x=1代入二次函數解析式得：y=-4a，則D的坐標是（1，-4a）．
設直線AD的解析式是y=kx+b．
根據題意得：

-k+b=0 k+b=-4a

解得：k=b=-2a
則直線AD的解析式是：y=-2ax-2a．
在y=-2ax-2a中，令x=0，解得：y=-2a．
則CE=3a-2a=a．
∴S₁=S_△ACE+S_△CDE=

1

2

CE×a+

1

2

CE×a=a．
∴S₁：S₂=a：6a=

1

6

．
故答案是：

1

6

．

點評：本題是二次函數與三角形的綜合應用，正確設出二次函數的解析式，表示出兩個三角形的面積是解題的關鍵．