Question

若a₃=5，a₅=8，并且對所有正整數n，都有a_n+a_n+1+a_n+2=7，則a₂₀₀₉=________．

Answer 1

8
分析：先由a_n+a_n+1+a_n+2=7，可得a₁+a₂+a₃=7①，a₂+a₃+a₄=7②，a₃+a₄+a₅=7③，①+③-②求得a₃=-6，觀察發現這個數列為5，8，-6，5，8，-6，…，三個一循環，依此得到a₂₀₀₉的值．
解答：∵a₁+a₂+a₃=7①，a₂+a₃+a₄=7②，a₃+a₄+a₅=7③，
∴①+③-②，得5+a₃+8=7，a₃=-6，
∴5+a₂-6=7，a₂=8，
8-6+a₄=7，a₄=5，
∴這個數列為5，8，-6，5，8，-6，…，三個一循環，
∵2009÷3=669余2，則a₂₀₀₉=8．
故答案為：8．
點評：本題考查了整數問題的綜合運用，解題的關鍵是求出a₃的值，注意這個數列為5，8，-6，5，8，-6，…，三個一循環．