Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM．
（1）求證：△AMB≌△ENB；
（2）①當M點在何處時，AM+CM的值最小；
②當M點在何處時，AM+BM+CM的值最小，并說明理由；
（3）當AM+BM+CM的最小值為時，求正方形的邊長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得MB=NB，∠ABN=15°，所以∠EBN=45°，容易證出△AMB≌△ENB；
（2）①根據“兩點之間線段最短”，可得，當M點落在BD的中點時，AM+CM的值最小；
②根據“兩點之間線段最短”，當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長（如圖）；
（3）作輔助線，過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，由題意求出∠EBF=30°，設正方形的邊長為x，在Rt△EFC中，根據勾股定理求得正方形的邊長為．
解答：（1）證明：∵△ABE是等邊三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．
即∠MBA=∠NBE．
又∵MB=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）．（5分）

（2）解：①當M點落在BD的中點時，A、M、C三點共線，AM+CM的值最小．（7分）
②如圖，連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時，
AM+BM+CM的值最小．（9分）
理由如下：連接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB，
∴△BMN是等邊三角形．
∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10分）
根據“兩點之間線段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長．（11分）

（3）解：過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，
∴∠EBF=∠ABF-∠ABE=90°-60°=30°．
設正方形的邊長為x，則BF=x，EF=．
在Rt△EFC中，
∵EF²+FC²=EC²，
∴（）²+（x+x）²=．（12分）
解得，x₁=，x₂=-（舍去負值）．
∴正方形的邊長為．（13分）
點評：本題考查軸對稱的性質和正方形的性質，是一道綜合性的題目難度很大．