Question

（2013•東城區(qū)一模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x²-2mx+m²-9與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)，且OA＜OB），與y軸的交點坐標為（0，-5）．點M是線段AB上的任意一點，過點M（a，0）作直線MC⊥x軸，交拋物線于點C，記點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為D（C，D不重合），點P是線段MC上一點，連結(jié)CD，BD，PD．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）當a=1時，問點P在什么位置時，能使得PD⊥BD；
（3）若點P滿足MP=

1

4

MC，作PE⊥PD交x軸于點E，問是否存在這樣的點E，使得PE=PD？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接將C點（0，-5）代入y=x²-2mx+m²-9根據(jù)拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)，且OA＜OB），求出m的值即可；
（2）過D點作DF⊥x軸于點F，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可以得出∠PDC=∠BDF，從而可以求出△PCD∽△BFD，由相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論；
（3）假設(shè)E點存在由直角三角形的性質(zhì)可以得出∠MEP=∠CPD．再根據(jù)條件可以得出△EPM≌△PDC就有PM=DC，EM=PC，設(shè)C（x₀，y₀），則D（4-x₀，y₀），P(x0，

1

4

y0)．根據(jù)PM=DC就有|2x0-4|=-

1

4

y0，由C點在拋物線上有|2x0-4|=-

1

4

(

x

2 0

-4x0-5)，分兩種情況求出x₀的值就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²-2mx+m²-9與y軸交點坐標為（0，-5），
∴-5=m²-9．
解得：m=±2．
當m=-2，y=0時，x²+4x-5=0
解得：x₁=-5，x₂=1，
∵拋物線y=x²-2mx+m²-9與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)，且OA＜OB），
∴m=-2不符合題意，舍去．
∴m=2．
∴拋物線的解析式為y=x²-4x-5；

（2）過D點作DF⊥x軸于點F，
∴∠DFB=90°
∵MC⊥x軸，
∴∠CMB=90°，
∴∠CMB=∠DFB．
∴CM∥DF．
∵C、D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
∴CD∥x軸，
∴∠MCD=∠CDF=∠CDP+∠PDF=90°
∵PD⊥BD，
∴∠PDB=∠PDF+∠FDB=90°
∴∠PDC=∠BDF．
∵∠PCD=∠BFD=90°，
∴△PCD∽△BFD．
∴

CD

FD

=

PC

BF

．
當x=1時，y=-8，
∴C（1，-8），D（3，-8），F(xiàn)（3，0），B（5，0），
設(shè)P（1，y），
∴

2

8

=

y+8

2

．
解得：y=-

15

2

．
∴當P的坐標為(1，-

15

2

)時，PD⊥BD；

（3）假設(shè)E點存在，∵MC⊥EM，CD⊥MC，
∴∠EMP=∠PCD=90°．
∴∠MEP+∠MPE=90°
∵PE⊥PD，
∴∠EPD=90°，
∴∠MPE+∠DPC=90°
∴∠MEP=∠CPD．
在△EMP和△PCD中，

∠EMP=∠PCD ∠MEP=∠CPD PE=PD

，
∴△EPM≌△PDC（AAS）．
∴PM=DC，EM=PC．
設(shè)C（x₀，y₀），則D（4-x₀，y₀），P(x0，

1

4

y0)．
∴|2x0-4|=-

1

4

y0．
∵點C在拋物線y=x²-4x-5上；
∴y₀═x₀²-4x₀-5
∴|2x0-4|=-

1

4

(

x

2 0

-4x0-5)．
當2x0-4=-

1

4

(

x

2 0

-4x0-5)時，
解得：x₀₁=3，x₀₂=-7（舍去），
當4-2x0=-

1

4

(

x

2 0

-4x0-5)時，
解得：x₀₃=1，x₀₄=11（舍去），
∴x₀=1或x₀=3．
∴P（1，-2）或P（3，-2）．
∴PC=6．∴ME=PC=6．
∴E（7，0）或E（-3，0）．

點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，直角三角形的性質(zhì)的運用，解答時先運用待定系數(shù)法求出解析式是關(guān)鍵，解答中靈活運用直角三角形的性質(zhì)是重點難點．