Question

【題目】（12分）如圖①，∠QPN的頂點P在正方形ABCD兩條對角線的交點處，∠QPN=α，將∠QPN繞點P旋轉，旋轉過程中∠QPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點E和點F（點F與點C，D不重合）．

（1）如圖①，當α=90°時，DE，DF，AD之間滿足的數量關系是 ；

（2）如圖②，將圖①中的正方形ABCD改為∠ADC=120°的菱形，其他條件不變，當α=60°時，（1）中的結論變為DE+DF=AD，請給出證明；

（3）在（2）的條件下，若旋轉過程中∠QPN的邊PQ與射線AD交于點E，其他條件不變，探究在整個運動變化過程中，DE，DF，AD之間滿足的數量關系，直接寫出結論，不用加以證明．

Answer 1

【答案】（1）DE+DF=AD；（2）詳見解析；（3）①當點E落在AD上時，DE+DF=AD，②當點E落在AD的延長線上時，DE+DF逐漸增大，當點F與點C重合時DE+DF最大，即AD＜DE+DF≤AD．

【解析】

試題（1）根據正方形的性質，易證△APE≌△DPF，即可得AE=DF，所以DE+DF=AD；（2）取AD的中點M，連接PM，根據菱形的性質，即可得△MDP是等邊三角形，利用SAS易證△MPE≌△FPD，再由全等三角形的對應邊相等可得ME=DF，由DE+ME=AD，即可得出DE+DF=AD；（3）①當點E落在AD上時，DE+DF=AD，②當點E落在AD的延長線上時，DE+DF逐漸增大，當點F與點C重合時DE+DF最大，即AD＜DE+DF≤AD．

試題解析：解：（1）正方形ABCD的對角線AC，BD交于點P，

∴PA=PD，∠PAE=∠PDF=45°，

∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°，

∴∠APE=∠DPF，

在△APE和△DPF中

∴△APE≌△DPF（ASA），

∴AE=DF，

∴DE+DF=AD；

（2）如圖②，取AD的中點M，連接PM，

∵四邊形ABCD為∠ADC=120°的菱形，

∴BD=AD，∠DAP=30°，∠ADP=∠CDP=60°，

∴△MDP是等邊三角形，

∴PM=PD，∠PME=∠PDF=60°，

∵∠PAM=30°，

∴∠MPD=60°，

∵∠QPN=60°，

∴∠MPE=∠FPD，

在△MPE和△FPD中，

∴△MPE≌△FPD（ASA）

∴ME=DF，

∴DE+DF=AD；

（3）如圖，

在整個運動變化過程中，

①當點E落在AD上時，DE+DF=AD，

②當點E落在AD的延長線上時，DE+DF逐漸增大，當點F與點C重合時DE+DF最大，

即AD＜DE+DF≤AD．