Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+4(a≠0)與軸交于點B (－3 ，0) 和C (4 ，0)與軸交于點A．

(1) a = ，b = ；

(2) 點M從點A出發以每秒1個單位長度的速度沿AB向B運動，同時，點N從點B出發以每秒1個單位長度的速度沿BC向C運動，當點M到達B點時，兩點停止運動．t為何值時，以B、M、N為頂點的三角形是等腰三角形？

(3) 點P是第一象限拋物線上的一點，若BP恰好平分∠ABC，請直接寫出此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1），；(2)；(3)

【解析】

（1）直接利用待定系數法求二次函數解析式得出即可；

（2）分三種情況：①當BM=BN時，即5-t=t，②當BM=NM=5-t時，過點M作ME⊥OB，因為AO⊥BO，所以ME∥AO，可得：即可解答；③當BE=MN=t時，過點E作EF⊥BM于點F，所以BF=BM=（5-t），易證△BFE∽△BOA，所以即可解答；

（3）設BP交y軸于點G，過點G作GH⊥AB于點H，因為BP恰好平分∠ABC，所以OG=GH，BH=BO=3，所以AH=2，AG=4-OG，在Rt△AHG中，由勾股定理得：OG=，設出點P坐標，易證△BGO∽△BPD，所以，即可解答.

解：解：（1）∵拋物線過點B (－3 ，0) 和C (4 ，0)，
∴ ，
解得：；

（2）∵B (－3 ，0)，y=ax2+bx+4，∴A(0，4)，0A=4，OB=3，

在Rt△ABO中，由勾股定理得：AB=5，

t秒時，AM=t，BN=t，BM=AB-AM=5-t，

①如圖：當BM=BN時，即5-t=t，解得：t= ;

,

②如圖，當BM=NM=5-t時，過點M作ME⊥OB，因為BN=t，由三線合一得：BE=BN=t，又因為AO⊥BO，所以ME∥AO，所以，即 ，解得：t=；

③如圖：當BE=MN=t時，過點E作EF⊥BM于點F，所以BF=BM=（5-t），易證△BFE∽△BOA，所以，即 ，解得：t= .

(3)設BP交y軸于點G，過點G作GH⊥AB于點H，因為BP恰好平分∠ABC，所以OG=GH，BH=BO=3，所以AH=2，AG=4-OG，在Rt△AHG中，由勾股定理得：OG=，設P（m，-m2+m+4），因為GO∥PD，∴△BGO∽△BPD，∴ ，即 ，解得：m1=，m2=-3(點P在第一象限，所以不符合題意，舍去)，m1=時，-m2+m+4=

故點P的坐標為