Question

【題目】如圖，∠B=90°，O是AB上的一點，以O為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點E，與AC切于點D．若AD=2 ， 且AB、AE的長是關于x的方程x2﹣8x+k=0的兩個實數根．
（1）求⊙O的半徑．
（2）求CD的長．

Answer 1

【答案】解：（1）連接OD、DE、DB，設⊙O半徑為r，
∵CD為⊙O切線，∴∠ODA=90°，
∵BE為⊙O直徑，∴∠BDE=90°，
∴∠ADE=∠BDO，
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，
∵∠DAE=∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴，
∴ABAE=，
∵AB、AE的長是關于x的方程x2﹣8x+k=0的兩個實數根，
∴k=12，
解方程x2﹣8x+12=0得：兩個實數根為：2和6，
∴設半徑的長為r，
可得半徑r=×（6﹣2）=2；
（2）∵∠B=90°，
∴CB為⊙O切線，
∴CD=CB，
∴CB2+AB2=AC2 ，
∴CD2+62=（2+CD）2 ，
∴CD=2．
答：CD的長度為2．

【解析】（1）根據切線長定理得出ABAE的長=12，進而得出k的值，設半徑的長為r，再代入切線長定理解答即可；
（2）根據切線長定理，即可得出CD=CB，由勾股定理得CD的長即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的性質定理的相關知識，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．