Question

如圖，已知以點O為公共圓心的兩個同心圓，大圓的弦AB交小圓于C，D．
（1）求證：AC=DB；
（2）如果AB=6cm，CD=4cm，求圓環的面積．

Answer 1

解：（1）過點O作OE⊥AB于E，
∴AE=BE，CE=DE，
∴AE-CE=BE-DE，
∴AC=BD；

（2）連接OA，OC，
在Rt△AOE與Rt△OCE中：OE²=OA²-AE²，OE²=OC²-CE²，
∴OA²-AE²=OC²-CE²，
∴OA²-OC²=AE²-CE²，
∵AB=6cm，CD=4cm，
∴AE=3cm，CE=2cm，
∴OA²-OC²=5，
∴圓環的面積為：πOA²-πOC²=π（OA²-OC²）=5π．
分析：（1）首先過點O作OE⊥AB于E，由垂徑定理可證得AE=BE，CE=DE，繼而可得AC=BD；
（2）首先連接OA，OC，由勾股定理可得：OE²=OA²-AE²，OE²=OC²-CE²，繼而可得OA²-OC²=5，則可求得圓環的面積
點評：此題考查了垂徑定理與勾股定理的知識．此題難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．