Question

（2010•赤峰）兩塊完全相同的三角板Ⅰ（△ABC）和Ⅱ（△A₁B₁C₁）如圖①放置在同一平面上（∠C=∠C₁=90°，∠ABC=∠A₁B₁C₁=60°），斜邊重合．若三角板Ⅱ不動，三角板Ⅰ在三角板Ⅱ所在的平面上向右滑動，圖②是滑動過程中的一個位置．
（1）在圖②中，連接BC₁、B₁C，求證：△A₁BC₁≌△AB₁C；
（2）三角板Ⅰ滑到什么位置（點B₁落在AB邊的什么位置）時，四邊形BCB₁C₁是菱形？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：利用全等三角形的性質得出一些條件，然后再進行證明．
解答：（1）證明：∵三角板Ⅰ（△ABC）和Ⅱ（△A₁B₁C₁）是兩塊完全相同的三角板，
∴AC=A₁C₁AB=A₁B₁∠A=∠A₁
∴在圖②中A₁B=AB₁
∴△A₁BC₁≌△AB₁C．

（2）解：點B₁落在AB邊的中點．理由如下：
如圖②所示，由已知條件知BC=B₁C₁，BC∥B₁C₁
∴四邊形BCB₁C₁是平行四邊形．
要使四邊形BCB₁C₁是菱形，
則BC=CB₁
∵∠ABC=∠A₁B₁C₁=60°，
∴△BCB₁為等邊三角形．
∴BB₁=B₁C=BC，
又∵∠A=30°，
在直角三角形ABC中，BC=AB，
∴BB₁=AB，
∴點B₁落在AB邊的中點．
點評：（1）靈活把握題中隱含的條件是解題的關鍵．
（2）菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據，常用三種方法：
①定義；
②四邊相等；
③對角線互相垂直平分．